martes, 10 de noviembre de 2020
domingo, 18 de octubre de 2020
lunes, 28 de septiembre de 2020
martes, 28 de julio de 2020
Relaciones
En este posteo se trabajará el tema de relaciones.
Se irán subiendo diferentes documentos con los temas que trataremos y también con las prácticas
Teoría de la primera parte del tema Relaciones (Producto cartesiano, Particiones y Relaciones)
Se irán subiendo diferentes documentos con los temas que trataremos y también con las prácticas
Teoría de la primera parte del tema Relaciones (Producto cartesiano, Particiones y Relaciones)
- Documento de Práctica de Producto cartesiano, Particiones y Relaciones
- Resolución de Práctica
Teoría de Relaciones y trayectorias
- Documento de Práctica de trayectorias y Propiedades de relaciones
- Resolución de Práctica trayectorias
Teoría de Propiedades de Relaciones
Teoría de Relaciones de equivalencia
Para los alumnos de las comisiones 06 y 02 dejamos el apunte de teoría completo de Relaciones y de Particiones y Relaciones de equivalencia de la Prof. Lucila Teneb.
Videos complementarios
- Relaciones reflexivas y simétricas
- Relaciones antisimétricas y transitivas
- Análisis de tipos de relaciones en conjuntos finitos y en conjuntos infinitos
- Relaciones de equivalencia: Video 1 , Video 2
- Relaciones de equivalencia y particiones (observar la simbología empleada para clase de equivalencia): Video 1, Video 2, Video 3, Video 4
domingo, 26 de julio de 2020
miércoles, 10 de junio de 2020
Análisis Combinatorio - Conteo
En este posteo dejamos disponible dos documentos teóricos sobre el tema, nos parece interesante que puedan tener ambos materiales para efectuar el estudio pues se complementan.
Análisis Combinatorio - Profesora Lucila Teneb
Análisis Combinatorio - Profesora Rosa Maenza
Práctica de Análisis Combinatorio
En este documento dejamos la resolución de práctica de Análisis Combinatorio, tengan en cuenta que en muchos casos solo se presentan los planteos finales. Ustedes en los parciales y exámenes deben plantear el problema, modelar la situación y usar las fórmulas con los factoriales para llegar a los resultados. No sirve solo una respuesta final, que puede obtenerse usando la calculadora.
Enlaces de interés
Pueden ver la serie de videos de Conteo, Permutaciones, Combinaciones de la Universidad Estatal a Distancia, Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Cátedra de Matemáticas para la Administración y Computación
Análisis Combinatorio - Profesora Lucila Teneb
Análisis Combinatorio - Profesora Rosa Maenza
Práctica de Análisis Combinatorio
En este documento dejamos la resolución de práctica de Análisis Combinatorio, tengan en cuenta que en muchos casos solo se presentan los planteos finales. Ustedes en los parciales y exámenes deben plantear el problema, modelar la situación y usar las fórmulas con los factoriales para llegar a los resultados. No sirve solo una respuesta final, que puede obtenerse usando la calculadora.
Enlaces de interés
Pueden ver la serie de videos de Conteo, Permutaciones, Combinaciones de la Universidad Estatal a Distancia, Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Cátedra de Matemáticas para la Administración y Computación
jueves, 28 de mayo de 2020
Principio de Inducción
En matemática existen varias propiedades o teoremas cuyos enunciados dependen (o están en función) de un número entero positivo.
Veamos que no vasta con demostrar o verificar la igualdad del ejemplo 3 para ciertos valores iniciales
Cuando n = 1 tengo 1-6+11-6 = 0, por lo tanto n=1 es solución de la ecuación
Cuando n = 2 tengo 8 – 24 +22 – 6 =0 por lo tanto n=2 es solución de la ecuación
Cuando n = 3 tengo 27 – 54 + 33 – 6 = 0 por lo tanto n=3 es solución de la ecuación
Cuando n = 4 tengo 64-96+44-6 = 108-102 = 6 por lo tanto n=4 no es solución de la ecuación
Es decir, vemos que es prematuro dar una afirmación de esta propiedad verificando solamente ciertos valores iniciales. Es necesario contar con un instrumento matemático que me permita demostrar la validez de una propiedad en forma general.
- Ejemplo 1: “La suma de los primeros enteros positivos es [n.(n+1)] : 2
- Ejemplo 2: “La suma de los ángulos interiores a un polígono de n lados es (n-2). 180"
- Ejemplo 3: “Las soluciones de la ecuación x^3 – 6 x^2 – 11x – 6 =0 son todos los enteros positivos” (el símbolo ^ implica potencia, en el primer caso es x al cubo)
Veamos que no vasta con demostrar o verificar la igualdad del ejemplo 3 para ciertos valores iniciales
Cuando n = 1 tengo 1-6+11-6 = 0, por lo tanto n=1 es solución de la ecuación
Cuando n = 2 tengo 8 – 24 +22 – 6 =0 por lo tanto n=2 es solución de la ecuación
Cuando n = 3 tengo 27 – 54 + 33 – 6 = 0 por lo tanto n=3 es solución de la ecuación
Cuando n = 4 tengo 64-96+44-6 = 108-102 = 6 por lo tanto n=4 no es solución de la ecuación
Es decir, vemos que es prematuro dar una afirmación de esta propiedad verificando solamente ciertos valores iniciales. Es necesario contar con un instrumento matemático que me permita demostrar la validez de una propiedad en forma general.
Tal instrumento es el método conocido como Inducción Matemática que de forma resumida la podemos definir en los siguientes tres pasos:
Si P(n) es una propiedad que depende de un entero positivo n.
Aclaración: recuerden que se comentó en la primera clase que algunos autores entienden que el conjunto de los Naturales empieza en 1 y no en cero. Por eso es que definen este principio hablando de números naturales. Para evitar problemas entre los que opinan que los naturales empiezan en cero, con los que opinan que empiezan con 1, es que lo definé antes en el conjunto de los enteros positivos en donde no hay discusión ninguna. Todos concordamos que comenzamos con 1.
Les dejamos a continuación la teoría explicando más detalladamente el tema y la práctica
Teoría
Práctica
Te dejamos una serie de videos para que puedas ver algunos otras explicaciones
El principio de inducción - análisis del dominó
El principio de inducción - análisis del caso polígono
El principio de inducción - ejercicios con desigualdades
Si P(n) es una propiedad que depende de un entero positivo n.
- Demostrar que P(1) es cierta (utilizar el primer valor n para el cual tiene sentido la propiedad, en el caso del ejemplo 2 n=3). Es decir, reemplazar n por 1 y verificar que la propiedad se cumpla
- Considerar cierta la propiedad para n= k , es decir: reemplazar n por k y suponer verdadera la afirmación
- Demostrar que es cierta para n =k+1, es decir reemplazar n por k+1 y emplear el paso 2 para reemplazar.
Aclaración: recuerden que se comentó en la primera clase que algunos autores entienden que el conjunto de los Naturales empieza en 1 y no en cero. Por eso es que definen este principio hablando de números naturales. Para evitar problemas entre los que opinan que los naturales empiezan en cero, con los que opinan que empiezan con 1, es que lo definé antes en el conjunto de los enteros positivos en donde no hay discusión ninguna. Todos concordamos que comenzamos con 1.
Les dejamos a continuación la teoría explicando más detalladamente el tema y la práctica
Teoría
Práctica
Te dejamos una serie de videos para que puedas ver algunos otras explicaciones
El principio de inducción - análisis del dominó
El principio de inducción - análisis del caso polígono
El principio de inducción - ejercicios con desigualdades
sábado, 16 de mayo de 2020
Resolución de relaciones de recurrencia
Dejamos en este posteo la práctica de relaciones de recurrencia resuelta.
domingo, 10 de mayo de 2020
Relaciones de recurrencia
jueves, 30 de abril de 2020
Resolución de ejercitación Sucesiones
Hola!
Les dejamos la solución de los ejercicios resueltos de sucesiones en este documento.
Por favor miren cada uno de los resultados y comparen con lo que ustedes pudieron resolver.
Por otra parte aprovechamos para hacer algunas aclaraciones de las prácticas de conjuntos obligatoria:
Importante
A partir de la semana que viene no vamos a publicar más los horarios de videos en este espacio. Ya cada profesor informó a sus alumnos los horarios en los que efectuará estas instancias y las modalidades con las que se comunica.
En la mayoría de los casos es en el mismo horario de clases.
Si algún alumno no recibe (por mail o por el grupo que tienen armado para la comisión) informe al mail de la cátedra, aclarando la comisión a la que pertenece y comentando el problema.
Les dejamos la solución de los ejercicios resueltos de sucesiones en este documento.
Por favor miren cada uno de los resultados y comparen con lo que ustedes pudieron resolver.
Por otra parte aprovechamos para hacer algunas aclaraciones de las prácticas de conjuntos obligatoria:
- En el planteo del ejercicio 4b, falta incorporar la letra "n"después del último punto y coma
- Página 11, Ejercicio 24, inciso a) dice resta de uniones de a dos conjuntos, pero es resta de intersecciones. (el cardinal considerado está bien)
- Página 16. Ejercicio 27 inciso b) la suma de intersección de los tres conjuntos corresponden a T, C y F (ahí dice B,C y P)
- Misma página, inciso e) igual, las intersecciones de los tres conjuntos deben ser T, C y F. Además en el caso de cálculo del cardinal de F está sumando dos veces sólo C intersección F y debe ser cambiado uno de los casos por sólo T intersección F.
Importante
A partir de la semana que viene no vamos a publicar más los horarios de videos en este espacio. Ya cada profesor informó a sus alumnos los horarios en los que efectuará estas instancias y las modalidades con las que se comunica.
En la mayoría de los casos es en el mismo horario de clases.
Si algún alumno no recibe (por mail o por el grupo que tienen armado para la comisión) informe al mail de la cátedra, aclarando la comisión a la que pertenece y comentando el problema.
lunes, 20 de abril de 2020
Tema Sucesiones
Estimados alumnos, en esta oportunidad les pasamos por este medio el material (teórico y práctico) que la cátedra elaboró para el segundo tema que vamos a trabajar, sucesiones.
Les recomendamos leer muy detenidamente la teoría, buscando comprenderla. Es útil elaborar la propia síntesis e ir haciendo los ejemplos que propone el apunte antes de comenzar a desarrollar la práctica asociada a cada subtema.
La semana que viene estaremos publicando la resolución de esa práctica.
Apunte teórico de sucesiones
Apunte práctico de sucesiones
Novedades:
En un próximo posteo vamos a comunicarles día y hora de clases por videoconferencia por comisión para trabajar sobre consultas referidas al tema de CONJUNTOS. ¡ Estén atentos!
Les recomendamos leer muy detenidamente la teoría, buscando comprenderla. Es útil elaborar la propia síntesis e ir haciendo los ejemplos que propone el apunte antes de comenzar a desarrollar la práctica asociada a cada subtema.
La semana que viene estaremos publicando la resolución de esa práctica.
Apunte teórico de sucesiones
Apunte práctico de sucesiones
Novedades:
En un próximo posteo vamos a comunicarles día y hora de clases por videoconferencia por comisión para trabajar sobre consultas referidas al tema de CONJUNTOS. ¡ Estén atentos!
viernes, 10 de abril de 2020
Resoluciones de ejercitación complementaria y enlaces de interés
Resoluciones de práctica complementaria
Como informamos anteriormente, aquí les dejamos la resolución de los ejercicios de la práctica complementaria, para que verifiquen si los realizaron bien. Son imágenes divididas en ejercicios pares e impares.Ejercicios pares 1
Ejercicios pares 2
Ejercicios impares 1
Ejercicios impares 2
Ejercicios impares 3
Ejercicios impares 4
Ejercicios impares 5
Enlaces de interés del tema principio de adición
Planteo del problema como lo vimos en los ejercicios resueltos obligatorios- Principio de conteo aplicado a 2 conjuntos no disjuntos (algunos autores en vez de principio de adición colocan la palabra conteo)
- Principio de conteo aplicado a 3 conjuntos
Corroborando las cardinalidades de los conjuntos por medio de diagramas de Venn (aclaración este análisis no sustituye al planteo del problema mostrado anteriormente, sirve para verificar que los datos encontrados son los correctos. Es decir realicen ambos análisis)
- Ejemplo de problema de 3 conjuntos (tené en cuenta que en este caso en vez de usar la notación que nosotros usamos de cardinal usa la letra n)
- Otro problema de 3 conjuntos
martes, 7 de abril de 2020
Tercer semana de clase
Hola a todos!
Nos complace saber que muchos de ustedes están avanzando, ya han leído el material teórico y realizado las prácticas.
Hemos recibidos consultas de casi todas las comisiones.
Frente a los acontecimientos que todos conocemos, nos parece importante aclararles algo.
Nuestra cátedra tomó la decisión de trabajar estas dos semanas que pasaron con todas las comisiones de forma unificada, comunicándonos con los estudiantes desde una única cuenta y publicando en nuestro blog el material.
Nosotras estamos evaluando constantemente la situación (como en el país) y por lo pronto esta semana continuamos así.
Algunos de ustedes están transitando su tercer semana de clases en la facultad, pero otros no, hasta ayer recibimos nuevos alumnos ingresantes en las diferentes comisiones y nos estamos comunicando con ellos.
Les solicitamos calma y paciencia, por el momento lo único que deben hacer es leer el material teórico tranquilos, a consciencia. Analizar todo lo que se les plantea.
Sabemos que en otras materias tienen diferentes modalidades, nosotras estamos evaluando cómo seguimos. No se preocupen.
Antes de terminar el posteo les hacemos unas salvedades:
Esperamos que tengan una excelente semana de trabajo. Seguimos en contacto.
.
Nos complace saber que muchos de ustedes están avanzando, ya han leído el material teórico y realizado las prácticas.
Hemos recibidos consultas de casi todas las comisiones.
Frente a los acontecimientos que todos conocemos, nos parece importante aclararles algo.
Nuestra cátedra tomó la decisión de trabajar estas dos semanas que pasaron con todas las comisiones de forma unificada, comunicándonos con los estudiantes desde una única cuenta y publicando en nuestro blog el material.
Nosotras estamos evaluando constantemente la situación (como en el país) y por lo pronto esta semana continuamos así.
Algunos de ustedes están transitando su tercer semana de clases en la facultad, pero otros no, hasta ayer recibimos nuevos alumnos ingresantes en las diferentes comisiones y nos estamos comunicando con ellos.
Les solicitamos calma y paciencia, por el momento lo único que deben hacer es leer el material teórico tranquilos, a consciencia. Analizar todo lo que se les plantea.
- Hacer la práctica obligatoria y fijarse si los resultados y procesos realizados están bien.
- Hacer la práctica complementaria (en estos días publicamos los resultados).
Sabemos que en otras materias tienen diferentes modalidades, nosotras estamos evaluando cómo seguimos. No se preocupen.
Antes de terminar el posteo les hacemos unas salvedades:
- Ejercicio 8 a) el resultado el cardinal del conjunto es 4, no 3.
- Ejercicio 15 c) el resultado es Verdadero, claramente se ve que los conjuntos son disjuntos
Esperamos que tengan una excelente semana de trabajo. Seguimos en contacto.
.
viernes, 3 de abril de 2020
Resoluciones de práctica obligatoria - Conjuntos
Estimados alumnos, muchos de ustedes, según el cronograma dado, han podido leer y realizar las prácticas obligatorias.
Para ustedes aquí publicamos las resoluciones de los ejercicios.
Para los otros, que aún no han podido avanzar, les decimos que no se preocupen, intenten durante la semana que viene resolverlos, y luego miren este documento con las respuestas.
Aclaraciones:
Para ustedes aquí publicamos las resoluciones de los ejercicios.
Para los otros, que aún no han podido avanzar, les decimos que no se preocupen, intenten durante la semana que viene resolverlos, y luego miren este documento con las respuestas.
Aclaraciones:
- Algunos de los ejercicios pueden ser resueltos de diferentes maneras, lo importante siempre es realizar bien el planteo y recurrir a la teoría cada vez que no recuerden un tema.
- Observen cuidadosamente la simbología que emplearon respecto a la que está en el documento. En Matemática debemos ser rigurosos, sino no nos entendemos.
- La semana que viene publicaremos las resoluciones de la ejercitación complementaria. Trabajen tranquilos. El objetivo es que afiancen los conceptos.
Por el momento seguimos en contacto por este medio y por el correo electrónico.
Que tengan un excelente fin de semana.
martes, 31 de marzo de 2020
Aclaraciones sobre Teoría de Conjuntos
Hola, aclaramos algunos conceptos y realizamos comentarios.
El ejercicio 20 de la práctica debe ser demostrado con el método dado en la teoría, es decir analizando por medio de un elemento x genérico. Tengan en cuenta que no es válido demostrar con un ejemplo. Esto es algo que remarcaremos mucho a lo largo de la materia.
Con un ejemplo se puede demostrar que algo no se verifica (encontramos la excepción que hace fallar nuestra afirmación), pero con un ejemplo no se puede probar la generalidad de una regla
Ejemplo:
Supongamos que yo afirmo que todos los alumnos matriculados en UTN - FRRo en la carrera de ISI ya han trabajado con los ejercicios dados por la cátedra "Matemática Discreta". Para que esta afirmación pueda ser considerada verdadera, debería preguntar a todos los alumnos de todas las comisiones si ya han visto el material, apenas encuentre uno que no cumpla con esa condición podemos afirmar que es falso mi análisis. Encontré la excepción a la regla que invalida mi
afirmación.
Respecto a la forma de realizar las demostraciones del ejercicio 20, vista en el material teórico, les sugerimos que las revisen y les dejamos este otro material para que vean de forma resumida lo que allí está explicado más detalladamente. Tal vez esta otra forma de visualización les resulte más útil.
Página 11 - Ejemplo de demostración de inclusión entre conjuntos
Página 12 - Ejemplo de demostración de igualdad de conjuntos
Página 22 - Demostración de propiedad distributiva de conjuntos de la unión respecto a la intersección
Respecto al ejercicio 21a) les damos una ayuda, la operación entre conjuntos (A - B) puede ser reemplazada con su identidad conjuntista A intersección complemento de B, demostrada como válida en el ejercicio 20 inciso k.
Esto igualdad también puede ser empleada cuando se precise en los otros incisos.
En breve publicaremos la resolución de los ejercicios, sigan avanzando de forma individual. El intentar hacer la ejercitación sin conocer los resultados ayuda a que puedan realizar un aprendizaje más efectivo, apropiándose de los conceptos vistos. Recomendación: vuelvan a la teoría cada vez que lo consideren necesario.
Importante:
Por favor no olviden colocar el apellido y la comisión a la que pertenecen cuando hacen alguna consulta ya sea por el blog o por correo electrónico. Por ejemplo debe quedar así:
El ejercicio 20 de la práctica debe ser demostrado con el método dado en la teoría, es decir analizando por medio de un elemento x genérico. Tengan en cuenta que no es válido demostrar con un ejemplo. Esto es algo que remarcaremos mucho a lo largo de la materia.
Con un ejemplo se puede demostrar que algo no se verifica (encontramos la excepción que hace fallar nuestra afirmación), pero con un ejemplo no se puede probar la generalidad de una regla
Ejemplo:
Supongamos que yo afirmo que todos los alumnos matriculados en UTN - FRRo en la carrera de ISI ya han trabajado con los ejercicios dados por la cátedra "Matemática Discreta". Para que esta afirmación pueda ser considerada verdadera, debería preguntar a todos los alumnos de todas las comisiones si ya han visto el material, apenas encuentre uno que no cumpla con esa condición podemos afirmar que es falso mi análisis. Encontré la excepción a la regla que invalida mi
afirmación.
Respecto a la forma de realizar las demostraciones del ejercicio 20, vista en el material teórico, les sugerimos que las revisen y les dejamos este otro material para que vean de forma resumida lo que allí está explicado más detalladamente. Tal vez esta otra forma de visualización les resulte más útil.
Página 11 - Ejemplo de demostración de inclusión entre conjuntos
Página 12 - Ejemplo de demostración de igualdad de conjuntos
Página 22 - Demostración de propiedad distributiva de conjuntos de la unión respecto a la intersección
Respecto al ejercicio 21a) les damos una ayuda, la operación entre conjuntos (A - B) puede ser reemplazada con su identidad conjuntista A intersección complemento de B, demostrada como válida en el ejercicio 20 inciso k.
Esto igualdad también puede ser empleada cuando se precise en los otros incisos.
En breve publicaremos la resolución de los ejercicios, sigan avanzando de forma individual. El intentar hacer la ejercitación sin conocer los resultados ayuda a que puedan realizar un aprendizaje más efectivo, apropiándose de los conceptos vistos. Recomendación: vuelvan a la teoría cada vez que lo consideren necesario.
Importante:
Por favor no olviden colocar el apellido y la comisión a la que pertenecen cuando hacen alguna consulta ya sea por el blog o por correo electrónico. Por ejemplo debe quedar así:
lunes, 23 de marzo de 2020
Clase Nro 1: Teoría de Conjuntos
Te acercamos contenidos que comenzaremos a desarrollar al inicio de clases. Te sugerimos una lectura previa:
Conceptos básicos
Conjuntos y subconjuntos
Las prácticas correspondientes están disponibles aquí:
Aclaraciones:
Conceptos básicos
Conjuntos y subconjuntos
Las prácticas correspondientes están disponibles aquí:
Aclaraciones:
- En la resolución de las prácticas podrás aplicar tus conocimientos teóricos. Te sugerimos que trabajes con responsabilidad y perseverancia, consultando los apuntes de la cátedra y de clase. Podrás luego controlar tu resolución con los docentes o consultando la práctica resuelta.
- Podés emplear la sección comentarios de este posteo o el correo de cátedra para evacuar tus dudas.
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