Principio de Inducción

En matemática existen varias propiedades o teoremas cuyos enunciados dependen (o están en función) de un número entero positivo.

• Ejemplo 1: “La suma de los primeros enteros positivos es [n.(n+1)] : 2
• Ejemplo 2: “La suma de los ángulos interiores a un polígono de n lados es (n-2). 180"
• Ejemplo 3: “Las soluciones de la ecuación x^3 – 6 x^2 – 11x – 6 =0 son todos los enteros positivos” (el símbolo ^ implica potencia, en el primer caso es x al cubo)

¿Cómo probamos que estas afirmaciones son verdaderas?¿Cómo hacemos para verificar todos los casos posibles? ¿Será que viendo los primeros ya podemos estar seguro que se verifica para todos los números que siguen?

Veamos que no vasta con demostrar o verificar la igualdad del ejemplo 3 para ciertos valores iniciales

Cuando n = 1 tengo 1-6+11-6 = 0, por lo tanto n=1 es solución de la ecuación

Cuando n = 2 tengo 8 – 24 +22 – 6 =0 por lo tanto n=2 es solución de la ecuación

Cuando n = 3 tengo 27 – 54 + 33 – 6 = 0 por lo tanto n=3 es solución de la ecuación

Cuando n = 4 tengo 64-96+44-6 = 108-102 = 6 por lo tanto n=4 no es solución de la ecuación

Es decir, vemos que es prematuro dar una afirmación de esta propiedad verificando solamente ciertos valores iniciales. Es necesario contar con un instrumento matemático que me permita demostrar la validez de una propiedad en forma general.

Tal instrumento es el método conocido como Inducción Matemática que de forma resumida la podemos definir en los siguientes tres pasos:

Si P(n) es una propiedad que depende de un entero positivo n.

1. Demostrar que P(1) es cierta (utilizar el primer valor n para el cual tiene sentido la propiedad, en el caso del ejemplo 2 n=3). Es decir, reemplazar n por 1 y verificar que la propiedad se cumpla
2. Considerar cierta la propiedad para n= k , es decir: reemplazar n por k y suponer verdadera la afirmación
3. Demostrar que es cierta para n =k+1, es decir reemplazar n por k+1 y emplear el paso 2 para reemplazar.

Si es así P(n) es cierta para todo n perteneciente a los enteros positivos

Aclaración:  recuerden que se comentó en la primera clase que algunos autores entienden que el conjunto de los Naturales empieza en 1 y no en cero. Por eso es que definen este principio hablando de números naturales. Para evitar problemas entre los que opinan que los naturales empiezan en cero, con los que opinan que empiezan con 1, es que lo definé antes en el conjunto de los enteros positivos en donde no hay discusión ninguna. Todos concordamos que comenzamos con 1.

Les dejamos a continuación la teoría explicando más detalladamente el tema y la práctica
Teoría
Práctica

Te dejamos una serie de videos para que puedas ver algunos otras explicaciones
El principio de inducción - análisis del dominó
El principio de inducción - análisis del caso polígono
El principio de inducción - ejercicios con desigualdades