Arboles

Teoría de árboles de Lucila Teneb.

Teoría de árboles de Rodriguez y Maenza

Práctica de árboles

Resolución práctica de árboles

Relaciones

En este posteo se trabajará el tema de relaciones.
Se irán subiendo diferentes documentos con los temas que trataremos y también con las prácticas

Teoría de la primera parte del tema Relaciones (Producto cartesiano, Particiones y Relaciones) 

• Documento de Práctica de Producto cartesiano, Particiones y Relaciones
• Resolución de Práctica

Teoría de Relaciones y trayectorias

• Documento de Práctica de trayectorias y Propiedades de relaciones
• Resolución de Práctica trayectorias

Teoría de Propiedades de Relaciones

• Resolución de Práctica propiedades de relaciones

Teoría de Relaciones de equivalencia

• Resolución de Práctica relaciones de equivalencia

Para los alumnos de las comisiones 06 y 02 dejamos el apunte de teoría completo de  Relaciones  y de Particiones y Relaciones de equivalencia  de la Prof. Lucila Teneb.

Videos complementarios

• Relaciones reflexivas y simétricas
• Relaciones antisimétricas y transitivas
• Análisis de tipos de relaciones en conjuntos finitos y en conjuntos infinitos
• Relaciones de equivalencia: Video 1 , Video 2
• Relaciones de equivalencia y particiones (observar la simbología empleada para clase de equivalencia): Video 1, Video 2, Video 3, Video 4

Matrices booleanas

Dejamos aquí un powerpoint con el material de estudio de Matrices Booleanas

Análisis Combinatorio - Conteo

En este posteo dejamos disponible dos documentos teóricos sobre el tema, nos parece interesante que puedan tener ambos materiales para efectuar el estudio pues se complementan.

Análisis Combinatorio - Profesora Lucila Teneb

Análisis Combinatorio - Profesora Rosa Maenza

Práctica de Análisis Combinatorio

En este documento dejamos la resolución de práctica de Análisis Combinatorio, tengan en cuenta que en muchos casos solo se presentan los planteos finales. Ustedes en los parciales y exámenes deben plantear el problema, modelar la situación y usar las fórmulas con los factoriales para llegar a los resultados. No sirve solo una respuesta final, que puede obtenerse usando la calculadora.

Enlaces de interés
Pueden ver la serie de videos de Conteo, Permutaciones, Combinaciones de la Universidad Estatal a Distancia, Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Cátedra de Matemáticas para la Administración y Computación

Principio de Inducción

En matemática existen varias propiedades o teoremas cuyos enunciados dependen (o están en función) de un número entero positivo.

• Ejemplo 1: “La suma de los primeros enteros positivos es [n.(n+1)] : 2
• Ejemplo 2: “La suma de los ángulos interiores a un polígono de n lados es (n-2). 180"
• Ejemplo 3: “Las soluciones de la ecuación x^3 – 6 x^2 – 11x – 6 =0 son todos los enteros positivos” (el símbolo ^ implica potencia, en el primer caso es x al cubo)

¿Cómo probamos que estas afirmaciones son verdaderas?¿Cómo hacemos para verificar todos los casos posibles? ¿Será que viendo los primeros ya podemos estar seguro que se verifica para todos los números que siguen?

Veamos que no vasta con demostrar o verificar la igualdad del ejemplo 3 para ciertos valores iniciales

Cuando n = 1 tengo 1-6+11-6 = 0, por lo tanto n=1 es solución de la ecuación

Cuando n = 2 tengo 8 – 24 +22 – 6 =0 por lo tanto n=2 es solución de la ecuación

Cuando n = 3 tengo 27 – 54 + 33 – 6 = 0 por lo tanto n=3 es solución de la ecuación

Cuando n = 4 tengo 64-96+44-6 = 108-102 = 6 por lo tanto n=4 no es solución de la ecuación

Es decir, vemos que es prematuro dar una afirmación de esta propiedad verificando solamente ciertos valores iniciales. Es necesario contar con un instrumento matemático que me permita demostrar la validez de una propiedad en forma general.

Tal instrumento es el método conocido como Inducción Matemática que de forma resumida la podemos definir en los siguientes tres pasos:

Si P(n) es una propiedad que depende de un entero positivo n.

1. Demostrar que P(1) es cierta (utilizar el primer valor n para el cual tiene sentido la propiedad, en el caso del ejemplo 2 n=3). Es decir, reemplazar n por 1 y verificar que la propiedad se cumpla
2. Considerar cierta la propiedad para n= k , es decir: reemplazar n por k y suponer verdadera la afirmación
3. Demostrar que es cierta para n =k+1, es decir reemplazar n por k+1 y emplear el paso 2 para reemplazar.

Si es así P(n) es cierta para todo n perteneciente a los enteros positivos

Aclaración:  recuerden que se comentó en la primera clase que algunos autores entienden que el conjunto de los Naturales empieza en 1 y no en cero. Por eso es que definen este principio hablando de números naturales. Para evitar problemas entre los que opinan que los naturales empiezan en cero, con los que opinan que empiezan con 1, es que lo definé antes en el conjunto de los enteros positivos en donde no hay discusión ninguna. Todos concordamos que comenzamos con 1.

Les dejamos a continuación la teoría explicando más detalladamente el tema y la práctica
Teoría
Práctica

Te dejamos una serie de videos para que puedas ver algunos otras explicaciones
El principio de inducción - análisis del dominó
El principio de inducción - análisis del caso polígono
El principio de inducción - ejercicios con desigualdades

Resolución de relaciones de recurrencia

Dejamos en este posteo la práctica de  relaciones de recurrencia resuelta.

Relaciones de recurrencia

Esta semana trabajaremos este otro tema, relaciones de recurrencia, muy vinculado con lo visto en sucesiones.
Te dejamos la teoría  y la práctica

Resolución de ejercitación Sucesiones

Hola!
Les dejamos la solución de los ejercicios resueltos de sucesiones en este documento.
Por favor miren cada uno de los resultados y comparen con lo que ustedes pudieron resolver.

Por otra parte aprovechamos para hacer algunas aclaraciones de las prácticas de conjuntos obligatoria:

1. En el planteo del ejercicio 4b, falta incorporar la letra "n"después del último punto y coma
2. Página 11, Ejercicio 24, inciso a) dice resta de uniones de a dos conjuntos, pero es resta de intersecciones. (el cardinal considerado está bien)
3. Página 16. Ejercicio 27 inciso b) la suma de intersección de los tres conjuntos corresponden a T, C y F (ahí dice B,C y P)
4. Misma página, inciso e) igual, las intersecciones de los tres conjuntos deben ser T, C y F. Además en el caso de cálculo del cardinal de F está sumando dos veces sólo C intersección F y debe ser cambiado uno de los casos por sólo T intersección F.

Importante
A partir de la semana que viene no vamos a publicar más los horarios de videos en este espacio. Ya cada profesor informó a sus alumnos los horarios en los que efectuará estas instancias y las modalidades con las que se comunica.
En la mayoría de los casos es en el mismo horario de clases. 
Si algún alumno no recibe (por mail o por el grupo que tienen armado para la comisión) informe al mail de la cátedra, aclarando la comisión a la que pertenece y comentando el problema.

Tema Sucesiones

Estimados alumnos, en esta oportunidad les pasamos por este medio el material (teórico y práctico) que la cátedra elaboró para el segundo tema que vamos a trabajar, sucesiones.
Les recomendamos leer muy detenidamente la teoría, buscando comprenderla. Es útil elaborar la propia síntesis e ir haciendo los ejemplos que propone el apunte antes de comenzar a desarrollar la práctica asociada a cada subtema.
La semana que viene estaremos publicando la resolución de esa práctica.

Apunte teórico de sucesiones
Apunte práctico de sucesiones

Novedades:
En un próximo posteo vamos a comunicarles día y hora de clases por videoconferencia por comisión para trabajar sobre consultas referidas al tema de CONJUNTOS. ¡ Estén atentos!

Resoluciones de ejercitación complementaria y enlaces de interés

Resoluciones de práctica complementaria

Como informamos anteriormente, aquí les dejamos la resolución de los ejercicios de la práctica complementaria, para que verifiquen si los realizaron bien. Son imágenes divididas en ejercicios pares e impares.

Ejercicios pares 1
Ejercicios pares 2
Ejercicios impares 1
Ejercicios impares 2
Ejercicios impares 3
Ejercicios impares 4
Ejercicios impares 5

Enlaces de interés del tema principio de adición

Planteo del problema como lo vimos en los ejercicios resueltos obligatorios

• Principio de conteo aplicado a 2 conjuntos no disjuntos (algunos autores en vez de principio de adición colocan la palabra conteo)
• Principio de conteo aplicado a 3 conjuntos

Corroborando las cardinalidades de los conjuntos por medio de diagramas de Venn (aclaración este análisis no sustituye al planteo del problema mostrado anteriormente, sirve para verificar que los datos encontrados son los correctos. Es decir realicen ambos análisis)

• Ejemplo de problema de 3 conjuntos (tené en cuenta que en este caso en vez de usar la notación que nosotros usamos de cardinal usa la letra n) 
• Otro problema de 3 conjuntos

Feliz domingo de Pascua